Методика навчання математики: теорія і практика - Л.В. Коваль, С.О. Скворцова 2011

Тема 2. Методика формування вмінь розв'язувати сюжетні задачі
Теоретичний блок
Змістовий модуль 8, 9. Методика навчання учнів розв'язування сюжетних задач

Методична система навчання молодших школярів розв'язування задач містить дві підсистеми: 1) методику формування загального уміння розв'язувати задачі; 2) методику формування в молодших школярів умінь розв'язувати задачі певних видів. Методика формування загального вміння передбачає опрацювання його складових (див. табл. 2) і реалізується на матеріалі простих і складених задач. Методикою формування в молодших школярів умінь розв'язувати задачі певних видів передбачено ознайомлення учнів з математичними структурами задач та способами їх розв'язування. Ця методика реалізується на матеріалі «типових» задач. Компоненти методичної системи взаємопов'язані, взаємозумовлені та взаємозалежні (див. табл. 3).


Таблиця 3

Методика формування загального вміння розв'язувати задачі

Формування поняття «задача» та вмінь розв'язувати прості задачі

Формування загального вміння розв'язувати прості задачі відбувається за етапами, які є загальноприйнятими в методичній науці:

I етап - підготовча робота до введення поняття «задача» (1-й клас);

II етап - ознайомлення з поняттям «задача», його структурними елементами та етапами її розв'язування (1-й клас);

III етап - формування загального уміння розв'язувати будь-які прості задачі (1-4 класи).

За методичними системами М.В. Богдановича та Л.П. Кочиної на етапі підготовчої роботи в учнів формується конкретний зміст дій додавання і віднімання, йде робота з розвитку мови дітей, коментування малюнків тощо. Це пояснюється тим, що поняття «задача» вводиться на задачах на знаходження суми й остачі (різниці). Лише потім, познайомившись з відношенням різницевого порівняння, діти розв'язують задачі на збільшення чи зменшення числа на кілька одиниць, на різницеве порівняння, а далі, дізнавшись про взаємозв'язок дій додавання і віднімання, вчаться розв'язувати задачі на знаходження невідомого доданка. Отже, традиційно задачі вводяться відразу після вивчення «теоретичного» матеріалу і є засобом його подальшого засвоєння. Але застосування сюжетних задач для формування в дітей уявлень про математичні поняття, в тому числі й про зміст арифметичних дій, призводить до того, що така типізація виступає як основний спосіб формування вміння розв'язувати задачі, учні не вчаться міркувати при виборі арифметичної дії, а орієнтуються на зразок, наданий учителем.

Для попередження шаблонного і тому неадекватного підходу учнів до розв'язання окремих видів задач слід вводити поняття «задача» не лише на задачах на знаходження суми й остачі (різниці), а й на матеріалі перших п'яти видів простих задач: на знаходження суми, на знаходження невідомого доданка, на знаходження остачі, на знаходження невідомого зменшуваного, на знаходження невідомого від'ємника, на різницеве порівняння, на збільшення або зменшення числа на кілька одиниць.

Отже, метою підготовчого етапу до введення поняття «задача» є формування в молодших школярів поняття про конкретний зміст арифметичних дій додавання і віднімання, їх взаємозв'язок, а також поняття про конкретний зміст збільшення або зменшення числа на кілька одиниць, відношення різницевого порівняння та їх схематичного зображення.

Метою етапу ознайомлення молодших школярів з поняттям «задача» є формування в учнів знань про складові задачі (умову і запитання, числові дані і шукане) та етапи її розв'язування, про зв'язок умови і запитання задачі, про кількість числових даних, необхідних для відповіді на запитання задачі; умінь виділяти умову задачі та її запитання, виділяти числові дані і шукане задачі, виконувати схематичний малюнок до задачі, свідомо обирати арифметичну дію, якою розв'язується задача; виконувати розв'язання задачі, відповідати на запитання задачі; оформляти розв'язання задачі.

Розглянемо методику ознайомлення першокласників з поняттям «задача» докладно. По-перше, учні повинні усвідомити складові частини задачі - умову і запитання, зв’язок між умовою і запитанням, навчитися виділяти умову і запитання в текстах задач. Ознайомлення можна здійснити наступним чином:

Дівчатка Маша і Наталка пішли в ліс по гриби. Маша знайшла 4 грибочки, а Наталка - 2 грибочки.

- Що нам відомо? Те, що відомо є умовою. Що нам невідомо? Про що можна запитати? (Це запитання задачі.) Умова і запитання складають задачу! Розкажи умову задачі. Розкажи запитання задачі.

- Чи правильно склали схематичний малюнок? Поясни, що означає кожний відрізок. Тонший відрізок позначає те, скільки грибочків знайшла Маша. Товщий відрізок позначає те, скільки грибочків знайшла Наталка.

Цілий відрізок, що складається з двох частин і позначений знаком запитання, означає те, скільки всього грибочків знайшли дівчатка.

Усього грибочків більше, ніж окремо знайшла Маша; усього грибочків більше, ніж окремо знайшла Наталка; більше число знаходять дією додавання, тому, щоб відповісти на запитання задачі, слід виконати дію додавання, а по-іншому: всього грибочків 4 та ще 2, 4 і 2 знаходять дією додавання: 4 + 2 = 6. Записана рівність є розв'язанням задачі. 6 грибочків всього знайшли дівчатка - ми дали відповідь на запитання задачі.

З цією ж метою перші сюжетні задачі з'являються разом із малюнками, при чому умову задачі з'єднано зі словом «умова», а запитання - зі словом «запитання».

Засвоєнню структури задачі також сприяють завдання на порівняння двох текстів - маленького оповідання і задачі. Наприклад:

1) У парку гуляло 5 дітей. 2 дитини пішли. Тоді залишилося 3 дитини.

2) У парку гуляло 5 дітей. 2 дитини пішли. Скільки дітей залишилося гуляти в парку?

Аналізуючи різноманітні тексти, які містять і умову і запитання, діти впевнюються: щоб отримати задачу, треба, щоб умова була пов'язана із запитанням. Наприклад аналізуємо текст. У класі було 7 хлопчиків і 2 дівчинки. Скільки пташок було на дереві? Пропонуємо дітям розказати умову, розказати запитання. Чи можна цей текст назвати задачею? Чому?

Усвідомлення зв'язку запитання з умовою відбувається й при виконанні завдань на добір запитання до даної умови або на добір умови до даного запитання, а також при виконанні завдань на зміну умови (запитання), щоб вона була пов'язана з даним запитанням (умовою).

1. Підбери запитання до даної умови.

У першому кошику 7 груш, а в другому на 3 груші менше.

- Скільки груш у першому кошику?

- На скільки груш у першому кошику більше, ніж у другому?

- Скільки груш у другому кошику?

- Скільки груш у двох кошиках?

- Скільки груш у третьому кошику?

Використання таких завдань сприяє не лише засвоєнню структури задачі, але й ставить учнів перед необхідністю аналізувати зв'язки між даними і шуканим, формує вміння вибирати потрібний зв’язок, який дозволяє відповісти на запитання задачі.

2. Добери умову до запитання. Скільки книжок на другій полиці?

« На одній полиці 7 книжок, а на другій на 2 книжки більше.»

« На одній полиці 5 книжок, а на другій - 8 книжок.»

« На двох полицях 10 книжок, при чому на першій полиці 4 книжки.»

3. Зміни умову так, щоб можна було відразу відповісти на запитання: «Скільки всього риб спіймав рибак?»

«Рибак спіймав 8 карасів, а окунів на 6 більше, ніж карасів.»

Зміни запитання так, щоб воно було пов’язане з умовою.

Корисним буде ознайомлення дітей з поняттями числові дані й шукане задачі, та навчання виділення числових даних і шуканого. Учні усвідомлюють, що числові дані - це числа, що відомі в задачі, вони містяться в умові, а на шукане число вказує запитання задачі. При роботі над текстом задачі пропонуємо підкреслити умову однією рискою, обвести кружком числові дані і пояснити, що означає кожне числове дане; підкреслити запитання двома рисками і пояснити, що означає шукане. Для чіткого розуміння і виділення в тексті задачі даних та шуканого корисні задачі із зайвими числовими даними та числовими даними, яких бракує.

Наприклад: 1) Чим схожі тексти задач? Чим вони відрізняються? Яку задачу ти зможеш розв’язати? Яку - ні? Чому?

У вазі лежали черешні і 2 яблука. Скільки всього фруктів лежало у вазі?

У вазі лежало 4 черешні і 2 яблука. Скільки всього фруктів лежало у вазі?

2) Порівняй тексти задач. Чим вони схожі? Чим відрізняються? Чи можна стверджувати, що ці задачі мають однакові розв’язання?

У бабусі було 3 гуски, 5 курок. Скільки птахів було в бабусі?

У бабусі було 3 гуски, 5 курок і 2 кролі. Скільки птахів було в бабусі?

3) Вибери дане, якого не дістає з кількох умов:

« На аеродромі було 7 літаків. Скільки літаків залишилося на аеродромі?»

1) Вранці прилетіло 2 літаки.

2) Полетіло на 2 літаки менше, ніж було.

3) Полетіло 3 літаки.

Засвоєнню структури задачі сприяють завдання на аналіз різних конструкцій задачі, коли частина умови міститься в запитанні, коли запитання стоїть перед умовою тощо. Наприклад даються такі тексти:

- Скільки вагонів залишилося в поїзді, якщо в ньому було 10 вагонів, а на станції відчепили 3 вагони?

- У відрі було 7 л води. Скільки літрів води залишилося у відрі, якщо з нього взяли 4 л води?

- У кравчині було 8 м тканини. З 6 м вона пошила сукні. Знайди остачу тканини.

Чи можна цей текст назвати задачею? Що в ньому незвичайного? Розкажи умову. Розкажи запитання.

На підставі сформованих уявлень про задачу, її структуру, а також уміння встановлювати взаємозв'язки між умовою і запитанням формується вміння аналізувати, а потім інтерпретувати текст задачі (моделювати різноманітні текстові конструкції на рівні схем, виразів, рівностей) і здійснювати переклад одних моделей у інші. З цією метою використовуються прийоми вибору. На етапі ознайомлення учні поки що не розв'язують самостійно задачі, їм пропонуються завдання на вибір виразу, який відповідає тексту задачі.

Наприклад: Мама купила 10 зошитів. З них 6 у клітинку, решта у лінійку. Скільки зошитів у лінійку купила мама? (Треба вибрати вираз до задачі: 10 - 6 або 10 + 6).

До певного виразу або схеми пропонуємо по кілька текстів задач з метою усвідомлення учнями того факту, що один і той же вираз може бути математичною моделлю різних за математичною структурою задач.

У процесі аналізу схем, математичних записів з метою «вибору» у дітей формується вміння читати текст задачі (виділяти умову, запитання, встановлювати взаємозв'язки між ними), а також накопичується досвід у перекладі одних моделей у інші (як словесної в схематичну, математичну, так і навпаки), але центральне місце при виконанні таких завдань належить опрацюванню обґрунтування вибору арифметичної дії.

При виконанні подібних завдань учні знайомляться з тим, що вибір арифметичної дії залежить від певних слів-ознак, які містяться в тексті задачі. Так, зі словом «всього» або «було-стало» пов'язане співвідношення додавання, зі словом «було-залишилося» - співвідношення віднімання, зі словами «на... більше (менше)» -співвідношення різницевого порівняння.

Моделювання задачного формулювання є однією з домінуючих евристик, що сприяє самостійному розв'язанню задачі, тому певну увагу слід приділити складанню схематичного малюнка до задачі.

Ознайомлення з порядком роботи над задачею та записом її розв'язання. Наприклад пропонуємо: 1) склади задачу за малюнком; 2) розв'яжи задачу, міркуючи за пам'яткою.

- Розкажіть, що зображено на малюнку? (Було 6 дівчаток. До них прибігли 2 дівчинки.) Це задача? (Ні.) Чому? (Це лише умова. Тут нема запитання. Задача складається з умови і запитання.) Чи можна поставити будь-яке запитання? (Ні, запитання повинно бути пов'язаним з умовою.) Яке запитання можна поставити, виходячи з ситуації? (Скільки стало дівчаток?)

- Розкажіть всю задачу. Розкажіть умову задачі. Виділіть числові дані. Розкажіть запитання задачі. Яке число є шуканим?

- Розв'язувати задачу будемо за пам'яткою № 1. Що нам відомо? (Нам відомо, що було 6 дівчаток, до них прибігло ще 2 дівчинки.) Запишемо ці числа в рядок через клітинку. (Учитель виконує запис на дошці.) Про що треба дізнатися? (Треба дізнатися про те, скільки стало дівчаток?) У цьому ж рядку поставимо через клітинку знак запитання.

- Складемо схематичний малюнок до задачі. Накреслимо відрізок, який позначає дівчаток, які були спочатку. Накреслимо відрізок, який позначає, що прибігли ще 2 дівчинки? Треба об'єднувати чи виключати? (Об'єднувати.) Як це показати на схемі? (Треба до відрізку, що означає дівчаток, які були спочатку, приєднати відрізок, що означає кількість дівчаток, які до них прийшли; отриманий таким чином великий відрізок і означатиме скільки стало дівчаток.)

було, а більше число знаходимо дією додавання, а по-іншому: стало дівчаток 6 та ще 2, 6 та ще 2 знаходять дією додавання, тому задачу розв'язуємо дією додавання.)

- Розв'язуйте. (Розв'язую: 6 + 2 = 8.) Запишемо рівність у другому рядку.

- Повторіть запитання задачі. (Скільки стало дівчаток?) Відповідайте: (Відповідаю: 8 дівчаток стало.) У третьому рядку, під значенням виразу, запишімо число 8.

Розглянуті типи завдань є переважно підготовчими для формування повноцінного уміння розв'язувати прості задачі. На етапі закріплення основним видом завдань є розв'язання задач. Метою даного етапу є засвоєння саме порядку роботи над задачею з опорою на текст пам'ятки. Треба зазначити, що робота над задачею проводиться фронтально: вчитель ставить запитання, а учні на них відповідають. Запитання вчителя конструюються так, щоб вони відтворювали завдання пам'ятки № 1.

У багатьох школах учні в 1-му класі виконують короткий запис задачі, але це викликає в них певні труднощі. Справа в тому, що складання короткого запису слід спеціально навчати дітей. Розглянемо методику навчання першокласників складання короткого запису. Спочатку учням пропонуються задачі у вигляді тексту разом з коротким записом задачі, а розв'язання задачі відбувається за пам'яткою № 1. Наприклад пропонується задача: У бабусі 4 качки та 3 гуски. Скільки всього птахів у бабусі?

- Про кого говориться в задачі? У задачі говориться про качок та гусей. Качки і гуси - це ключові слова задачі.

- Знайдіть ці слова в тексті задачі (вони виділені червоним кольором). Ці слова є в короткому запису задачі одне під одним - у стовпчик.

- Чи відомо нам скільки качок у бабусі? (Відомо, 4). Подивіться, де в тексті задачі стоїть це числове дане і де воно знаходиться в короткому запису. (Відповідне числове дане записується поряд з ключовим словом.)

- Чи відомо, скільки гусей у бабусі? (Відомо 3.) Де в тексті задачі записано це числове дане? Де в короткому запису це числове дане?

- Яке запитання задачі? (Запитання задачі містить слово «всього», для позначення цього слова є спеціальний знак - фігурна дужка. Отже, фігурна дужка позначає слово «всього». Запитується «скільки всього», тому біля носика фігурної дужки ставлять знак запитання.)

- За коротким записом поясніть числа задачі. Що означає число 4? Що означає число 3? Яке число є шуканим?

На цьому етапі уміння визначати об'єкт (об'єкти) задачі набуває подальшого засвоєння: учні переказують задачу, з'ясовують, про що в ній говориться, і виділяють об'єкт або об'єкти задачі. Нагадаємо, що об'єктом задачі може бути предмет, явище, подія, процес. З об'єктом задачі пов'язані ключові слова, при чому ключовими словами можуть бути діючі особи (наприклад, Сашко та Микола). Якщо в сюжеті задачі відбуваються якісь дії з об'єктом задачі, то ключовими словами будуть характеристики цієї події (наприклад, «було», «витратили», «залишилось»). Для визначення ключових слів ми пропонуємо наступну пам'ятку:

Пам'ятка

1) Про що розповідається в задачі?

2) Чи є в задачі кілька діючих осіб? Це ключові слова!

Або

3) Що відбувається по сюжету задачі? Що було спочатку? Що зробили потім? Що сталося нарешті? Це ключові слова!

Учням потрібно надати можливі зразки коротких записів, для того, щоб вони знайомилися з опорними схемами простих задач, які будуть застосовуватись у якості матеріальних опор при самостійному складанні короткого запису до задачі. Незважаючи на те, що вводиться поняття короткого запису, діти ще продовжують записувати задачу в три рядки і працюють над нею за пам'яткою № 1.

Нова форма запису задачі. Після того, як учні усвідомили процес складання короткого запису задачі, змінюється форма запису - задача записується не в три рядки, як це було раніше, а виконується стандартний запис: записується слово «Задача», під ним зліва робиться короткий запис, праворуч від нього виконується схематичний малюнок. У наступному вільному рядку в центрі записується слово «Розв'язання», під яким ліворуч -рівність, а нижче - слово «Відповідь» і саме речення, яке і є відповіддю на запитання задачі.

Наприклад, розглянемо методику роботи над задачею на знаходження невідомого доданка: «В кошику і на тарілці разом 10 яблук. На тарілці 2 яблука. Скільки яблук в кошику?»

- Розкажіть всю задачу. Розкажіть умову задачі. Виділіть числові дані. Розкажіть запитання задачі. Яке число є шуканим. Запишіть у зошитах посередині рядка слово «Задача».

- Складемо короткий запис задачі. Знайдіть її опорну схему. Які ключові слова можна виділити? (У кошику, на тарілці.) Чи відомо, скільки яблук лежить у кошику? (Ні.) Тому напроти цього ключового слова поставимо знак запитання. Чи відомо, скільки яблук на тарілці? (Так, 2.) Запишемо це напроти цього ключового слова. Що ще відомо із умови задачі? (Всього 10 яблук і в кошику, і на тарілці.) Як це показати в короткому запису? (Треба поставити фігурну дужку і за нею число 10.)

- За коротким записом поясніть числа задачі. Що означає число 10? (Число 10 означає, скільки яблук всього і в кошику і на тарілці.) Що означає число 2? (Число 2 означає, скільки яблук на тарілці.) Яке число є шуканим? (Число, яке означає, скільки яблук у кошику.)

- Виконаємо схематичний малюнок. Накресліть відрізок, що позначає кількість яблук у кошику і поставте над ним знак запитання. Покажіть за допомогою відрізка, що яблука ще лежать на тарілці. Що треба написати над ним? Покажіть відрізок, який позначає всі яблука. Запишіть під ним відповідне число.

- Перекладіть цю задачу на мову математики. (Число 10 - це сума; число 2 - це другий доданок; треба знайти перший доданок.) Згадайте правило, за яким можна знайти невідомий доданок. (Якщо із суми двох чисел відняти один доданок, то залишиться інший доданок. Або: щоб знайти невідомий доданок, треба із суми відняти відомий доданок.) Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? (Дією віднімання.)

Інакше: шуканим є кількість яблук в кошику. В кошику яблук більше чи менше, ніж всього? (Менше.) Якою арифметичною дією знаходимо менше число? (Відніманням, тому й задачу розв'язуватимемо відніманням.)

- Запишіть по середині рядка слово «Розв'язання», відступіть одну клітинку вниз і з лівого краю рядка запишіть рівність. ( 10 - 2 = 8 (шт.))

- Відступіть одну клітинку вниз і з лівого краю рядка запишіть слово «Відповідь», поставте за ним двокрапку і після неї напишіть відповідь, починаючи із знайденого числа. (Відповідь: 8 яблук в корзині.)

- Зверніть увагу на те, як ми оформили запис задачі в зошиті. (Ми написали слова «Задача», «Розв'язання» і «Відповідь»; ми склали скорочений запис задачі і написали повну відповідь на запитання задачі.)

Новий порядок роботи над задачами. Розглянемо приклад методики роботи над задачею за пам'яткою №2.

У господарки було 13 морквин, 3 морквини вона віддала козеняті. Скільки морквин залишилося?

- Про що розповідається в задачі? (В задачі розповідається про морквини: було 13 морквин, віддали 3 морквини; запитується, скільки залишилося морквин.)

- Виділіть ключові слова та складіть короткий запис задачі. Які слова розкривають ситуацію, описану в задачі? (Було, віддали, залишилося) Запишемо їх. Чи відомо, скільки морквин було? (Було - 13 морквин.) Чи знаємо ми із умови задачі, скільки віддали морквин? (Знаємо, віддали 3 морквини) Чи відомо, скільки морквин залишилося? (Ні, невідомо, поставимо знак запитання - це є запитання задачі.)

Було - 13 м.

Віддали - 3 м.

Залишилося -?

- За коротким записом поясніть числові дані задачі та запитання. Що позначає число 13? (Число 13 позначає, скільки було морквин.) Що позначає число 3? (Число 3 позначає, скільки віддали морквин.) Яке запитання задачі? (Скільки залишилося морквин?)

- Повторіть запитання задачі. Що потрібно знати, щоб на нього відповісти? (Потрібно знати два числових значення: І - скільки було морквин (13) та ІІ - скільки віддали морквин (3).)

- Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? (На запитання задачі відповімо дією віднімання, тому що залишилося менше, ніж було.) Процес аналізу ілюструємо схемою:

Запишіть розв'язання задачі. (Розв'язання: 13 - 3 = 10 (м.))

Запишіть відповідь. (Відповідь: 10.)

Формування поняття «складена задача». Формування вмінь розв'язувати складені задачі

Формування загального вміння розв'язувати складені задачі відбувається за етапами:

I етап - підготовча робота до введення поняття «складена задача»;

II етап - ознайомлення з поняттям «складена задача» та процесом її розв'язування;

III етап - формування загального уміння розв'язувати будь-які складені задачі.

На етапі підготовчої роботи в дітей формуються уявлення:

- про те, що за двома певними числовими даними можна відповісти на кілька запитань (постановка запитань до даної умови, вибір запитання до даної умови);

- про те, що різні задачі можуть мати однакові розв'язання (завдання на складання задач, розв'язанням яких є певний вираз);

- про неможливість відповісти на запитання задачі, якщо числових даних бракує (розв'язання задач з недостатньою кількістю числових даних);

- про необхідність вибору числових даних для відповіді на запитання задачі (розв'язання задач із зайвими числовими даними);

- про існування задач, на запитання яких не можна відповісти одразу (постановка додаткового запитання до задач із зайвими числовими даними, об'єднання двох послідовних простих задач в одну задачу, відповідь на друге запитання при розв'язанні задач з двома запитаннями);

- про існування задач, що складаються з двох простих задач, які пов'язані за змістом (при розв'язанні двох послідовних простих задач);

- про те, що аналіз може складатися з двох циклів -кожний з яких відповідає певній з двох простих задач (при розв'язанні задач з зайвими числовими даними, при розв'язанні двох послідовних простих задач, при розв'язанні задач з двома запитаннями).

Постановка запитання до даної умови. Метою цих завдань є: 1) навчання учнів ставити запитання до даної умови, на яке можна відповісти за числовими даними, що в ній містяться; 2) закріплення мовних конструкцій: «Для відповіді на запитання задачі потрібно знати два числові значення... На запитання задачі відповімо арифметичною дією ...»; 3) навчання знаходження спільного і відмінного в текстах задач.

При розв'язанні завдань цього виду проводиться подальша робота над структурою задачі: щоб одержати задачу, діти повинні поставити до даної умови запитання, яке пов'язане з нею. При цьому вони переконуються, що до однієї і тієї самої умови можна поставити кілька запитань. Отже, учні опиняються перед необхідністю визначення запитання, на яке можна відповісти за двома числовими даними. Наприклад, до умови «В каструлі 5 л молока, а в бідоні 9 л молока.» можна поставити запитання: «Скільки всього ...?» та «На скільки більше (менше)...?». Корисними також є завдання на вибір запитання до даної умови або на вибір умови до даного запитання.

Складання задач з даними числами, які розв'язуються арифметичними діями додавання і віднімання, або складання задач, розв'язком яких є даний вираз. Мета - розвиток варіативності мислення: учні переконуються, що однією й тією ж арифметичною дією над даними числами можна розв'язати багато задач, які відтворюють різноманітні життєві ситуації; діти вчаться визначати значення числових даних та підбирати запитання, відповідь на яке знаходять певною арифметичною дією. На цьому етапі відбувається подальше навчання школярів порівнювання задач; закріплюються такі мовні конструкції, як «Для відповіді на запитання задачі потрібно знати два числові значення... На запитання задачі відповімо арифметичною дією ...».

Задачі, що складені школярами, порівнюються між собою. Учні впевнюються, що в них є спільними лише числові дані, а умови та запитання - різні. Таким чином, розв'язком різних задач може бути один і той же вираз.

Також корисними є завдання на постановку запитання до даної умови, на яке можна відповісти за поданим числовим виразом.

Задачі із зайвими числовими даними. Під час розв'язання задач із зайвими числовими даними відбувається навчання вибору числових даних, які необхідні для відповіді на запитання задачі. Наприклад:

Наталці мама купила 27 зошитів. Наприкінці навчальної чверті в неї залишилося 2 зошити в лінійку та 5 зошитів у клітинку. Скільки всього зошитів залишилося в Наталки?

- Яке число не брало участі в розв'язанні задачі? Що воно означає? Яке повинно бути запитання, щоб число 27 брало участь у розв'язанні задачі? Складіть задачу з числом, яке ми знайшли при розв'язанні задачі, та числом 27. Що потрібно знати, щоб відповісти на запитання цієї задачі?

- Поставте запитання до даної умови, щоб число 27 брало участь у розв'язанні задачі.

Чи можна відразу відповісти на запитання цієї задачі? Чому? Прокоментуйте міркування за схемою аналізу. Зверніть увагу, схема аналізу складається з двох «трикутників» - циклів. Як ви вважаєте, чому?

Скільки було?

Задачі, в яких бракує числових даних. Метою розв'язання задач з недостатньою кількістю числових даних є формування в дітей уявлення про те, що не завжди можна відповісти на запитання задачі через відсутність числового даного. Це числове дане можна дібрати, але тоді учні отримують різні розв'язки, тому слід добирати додаткову умову, за якою дізнаємось про потрібне число. Наприклад:

На клумбі розцвіло 15 квіток. Для букету зрізали [ ] квітки. Скільки квіток залишилося?

- Розкажіть умову. Розкажіть запитання. Що цікавого ви помітили? (В умові не дістає числового даного.) Задайте додаткову умову. Про що ми дізнаємося спочатку? Що треба знати, щоб відповісти на це запитання? Про що ми дізнаємося потім? Що треба знати, щоб відповісти на це запитання? Розкажіть задачу з додатковою умовою. Чи можна відповісти відразу на її запитання? Чому? Розкажіть її розв'язання за схемою:

Послідовне розв'язання двох простих задач. При послідовному розв'язанні таких простих зада ч, у яких друга задача є продовженням першої, здійснюється формування в дітей уявлення про складену задачу як таку, що містить дві або більше прості задачі. Діти вчаться складати задачу із двох пов'язаних між собою простих задач. Наприклад:

1. У дівчинки було 8 олівців. Вона купила ще 4 олівці. Скільки олівців стало в дівчинки?

2. У дівчинки [ ] олівців. Вона подарувала подрузі 6 олівців. Скільки олівців у неї залишилося?

Після розв'язання двох простих задач, учні встановлюють, що відповісти на запитання другої задачі неможливо, не відповівши на запитання першої задачі. Учитель радить поєднати ці дві задачі в одну та за поданою схемою аналізу, яка містить два цикли, пропонує учням пояснити міркування. На схемі аналізу виділяються трикутниками прості задачі, діти формулюють кожну з них і визначають їх порядок: перша проста задача - це задача, на запитання якої можна відповісти одразу; друга проста задача - це задача, на запитання якої не можна відповісти, не розв'язавши першу задачу.

Задачі з двома послідовними запитаннями. Мета роботи над задачами з двома послідоними запитаннями - продовжувати формувати в дітей уявлення про те, що існують такі запитання до даної умови, відповісти на які одразу не можна. Крім того, доцільним буде продовжувати формувати прийом аналізу в процесі пошуку розв'язання задачі. Наприклад:

У парку гуляло 6 дівчаток, а хлопчиків на 4 більше. Скільки хлопчиків гуляло в парку? Скільки всього дітей гуляло в парку?

Після розв'язання таких задач учні з'ясовують, що відповісти на друге запитання задачі неможливо, не відповівши на перше запитання, тому схеми аналізу, що стосуються відповідей на кожне запитання, поєднуються, і учні пояснюють міркування за поєднаною схемою. Далі учні визначають, на яке запитання можна відповісти одразу (Це запитання першої простої задачі, її на поєднаній схемі показано трикутником.), а на яке потім (Це запитання другої простої задачі, її теж показано на схемі трикутником).

Ознайомлення учнів з поняттям «складена задача». Ознайомлення з поняттям «складена задача» та процесом її розв'язування слід проводити на різноманітних математичних структурах складених задач.

Метою етапу ознайомлення молодших школярів з поняттям «складена задача» є опрацювання трьох нових дій:

- проведення аналітичного пошуку розв'язування задачі, під час якого слід вибирати два числових даних для відповіді на певне запитання;

- виділення спочатку на схемі аналізу, а потім словесне формулювання кожної простої задачі, із яких складається дана задача;

- складання плану розв'язування задачі.

Істотним в організації діяльності учнів на даному етапі є її спрямованість не на розв'язання кожної окремої задачі, а на оволодіння даним комплексом умінь.

Поняття «складена задача». Ознайомлення з процесом розв'язання складених задач. На цьому етапі починається формування поняття про складену задачу як про таку, що складається з кількох простих задач; про розв'язання складеної задачі як послідовне розв'язання простих задач, що вона містить. Крім того, тут певну увагу слід приділяти формуванню вміння аналізувати текст задачі та проводити аналітичний пошук розв'язування задачі і розбиття складеної задачі на прості.

Поняття «складена задача» можна ввести на основі порівняння двох задач, перша з яких - задача з двома послідовними запитаннями, а друга - складена задача. Наприклад:

1) Наталка зробила 7 сніжок, а Іринка на 5 сніжок більше. Скільки сніжок зробила Іринка? Скільки всього сніжок зробили дівчатка?

2) Наталка зробила 7 сніжок, а Іринка на 5 сніжок більше. Скільки всього сніжок зробили дівчатка?

Учні визначають, що обидва тексти - це задачі, але вони відрізняються тим, що перша задача містить два запитання, а друга - одне. Але ці задачі мають однакові умови і однакові запитання: друге запитання першої задачі таке саме, як запитання другої задачі. Учитель пропонує з'ясувати, що необхідно знати, щоб відповісти на це запитання. Учні пояснюють міркування за поданою схемою аналізу, в якій слід вписати потрібні числові дані та проставити знаки арифметичних дій, за допомогою яких відповімо на певне запитання. Учитель вимагає від учнів показати трикутниками на схемі прості задачі і сформулювати їх (показати опорні схеми таких задач), та визначити послідовність простих задач. Після розбиття складеної задачі на прості дітям повідомляється, що на запитання першої простої задачі відповімо першою дією, а на запитання другої простої задачі - другою дією. Таким чином складається план розв'язування задачі.

Отже, на запитання другої задачі ми не можемо відповісти відразу, виконавши одну арифметичну дію, - такі задачі називаються складеними, тому що складаються з кількох простих задач. Таким чином, діти визначають істотні ознаки простих (на запитання задачі можна відповісти відразу, однією арифметичною дією) та складених задач.

З метою формування поняття «складена задача» корисні завдання на порівняння двох задач, які мають однакові умови, але різні запитання. Наприклад:

1) Щоб прикрасити класну кімнату, учні принесли 8 червоних кульок, а зелених на 4 більше. Скільки зелених кульок принесли діти?

2) Щоб прикрасити класну кімнату, учні принесли 8 червоних кульок, а зелених на 4 більше. Скільки всього кульок принесли діти?

Після розв'язання простої задачі учні з'ясовують, які зміни треба виконати в короткому запису та схематичному малюнку першої задачі, щоб одержати короткий запис та схематичний малюнок другої задачі, пояснюють числа задачі. Подальші міркування йдуть від запитання другої задачі «Що потрібно знати, щоб відповісти на запитання другої задачі?» і за поданою схемою аналізу. В схемі аналізу записуючи відповідні числові дані та знаки арифметичних дій, учні виконують аналітичний пошук розв'язування. Далі учні знайомляться із записом розв'язання задачі двома діями - за зразком записують розв'язання даної задачі і пояснюють кожну дію.

Таким чином, учні переконуються, що існують задачі, на запитання яких не можна відповісти одразу, однією арифметичною дією, і такі задачі називаються складеними, бо складаються з кількох простих задач.

Для повноцінного засвоєння цього поняття слід пропонувати завдання на: підведення під поняття; вибір необхідних і достатніх ознак для розпізнавання об'єкта; виведення наслідків про належність або не належність предмета до поняття. Наприклад:

1. Серед запропонованих задач виберіть і розв'яжіть тільки складені:

1) На дереві сиділо 7 горобців, а сорок - на 8 більше. Скільки сорок сиділо на дереві?

2) На дереві сиділо 7 горобців, а сорок - на 8 більше. Скільки всього птахів сиділо на дереві?

2. До якого виду належать задачі? Чому?

1) Бабуся випекла 7 пиріжків з капустою і 9 пиріжків з вишнями. 12-ма пиріжками вона пригостила онуків. Скільки пиріжків залишилося в бабусі?

2) На святі в дитячому садку в хорі співало 5 дівчаток і 7 хлопчиків. Скільки дітей співало в хорі?

3) Столяр виготовив 14 стільців, а табуретів на 5 менше. Скільки виробів виготовив столяр?

За допомогою запитань вчителя учні спонукаються до висновків: якщо задача складена, то її не можна розв'язати однією арифметичною дією; якщо задача проста, то її можна розв'язати однією арифметичною дією; якщо задача складена, то для її розв'язання треба виконати не менш, ніж дві арифметичні дії; якщо задача не проста, то вона складена.

Після того, як учні усвідомили відмінність складеної задачі від простої, слід перейти до навчання процесу розв'язування складених задач.

Формування вміння проводити аналітичний пошук розв'язування задачі. У завданнях, що подані на картках з друкованою основою, поки що подані схеми аналізу із записами про відповідні числові дані і шукані, але не всі учні читають їх - вони відповідають на запитання вчителя самостійно. Наведемо приклад картки з друкованою основою:

1. В автоперегонах стартувало 43 легкові машини і 21 вантажна машина. До фінішу прийшли 60 машин. Скільки машин не прийшло до фінішу?

Треба зазначити, що для формування вміння виконувати аналітичний пошук розв'язування задачі повинні пропонуватися різноманітні математичні структури задач з тим, щоб попередити формальний підхід, обмежити запам'ятовування способу розв'язування і ставити учнів кожного разу в умови свідомого вибору числових даних для відповіді на запитання задачі. Тому на даному етапі застосовуються задачі: на знаходження суми, які містять просту задачу на збільшення або зменшення числа на кілька одиниць; на знаходження остачі, які містять просту задачу на знаходження суми; на знаходження суми, які містять просту задачу на знаходження суми; на різницеве порівняння, які містять просту задачу на збільшення або зменшення числа на кілька одиниць тощо.

Далі учні вчаться виділяти прості задачі не лише на схемі аналізу розв'язування, а й на короткому запису задачі. Тепер задачі подаються у вигляді тексту без схематичного зображення аналізу розв'язування задачі. Діти самі промовляють словесні конструкції аналізу, складають схему аналізу і коментують її. При формулюванні простих задач показуємо не їх опорні схеми, а виділяємо прямокутниками на короткому запису задачі.

Учням повідомляється, що при розв'язуванні складеної задачі визначають план її розв'язування, тому що вона містить в собі кілька простих задач і треба визначити послідовність відповіді на запитання цих простих задач.

Далі дітям подається пам'ятка, в якій відображений порядок роботи над складеною задачею. Учні читають завдання пам'ятки і встановлюють, які з них вони навчилися виконувати при розв'язанні простих задач, а які - при ознайомленні зі складеною задачею. Наприклад:

Мама зірвала з одного куща 5 помідорів, а з другого 4. Шість помідорів вона віддала дітям. Скільки помідорів залишилося?

- Про що йде мова в задачі? (В задачі йдеться про помідори. Спочатку мама зірвала помідори з одного куща - 5, і з другого куща - 4, потім вона віддала 6 помідорів дітям. Запитується, скільки помідорів залишилося.) Проаналізуємо задачне формулювання. Розкажіть умову задачі. Розкажіть запитання задачі. Виділіть числові дані. Яке число є шуканим?

- Розглянемо короткий запис задачі (на дошці подається схематичний короткий запис). Прочитайте ключові слова. (Зірвала, віддала, залишилося.) Чи відомо нам, скільки помідорів зірвала мама? (Відомо, що мама зірвала 5 помідорів і ще 4 помідори) Чи знаємо ми скільки помідорів вона віддала дітям? (Відомо - 6 помідорів.) Яке запитання задачі? (Скільки помідорів залишилося в мами?).

- За коротким записом поясніть числові дані задачі. (Число 5 позначає, скільки помідорів зірвала мама з першого куща, число 4 позначає, скільки помідорів зірвала мама з другого куща, число 6 позначає, скільки помідорів віддала мама дітям.) Про що запитується в задачі? (У задачі запитується про те, скільки помідорів залишилося в мами.) Покажіть опорну схему, яку нагадує ця задача. (Це опорна схема задачі на знаходження остачі.)

- Зробіть схематичний малюнок. За схематичним малюнком поясніть, що означає кожний відрізок.

- Що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі «Скільки пом і дор і в залишилося?» (Для того, щоб відповісти на запитання задачі, треба знати два числові значення: І - скільки всього помідорів зірвала мама, поки ще не знаємо, та ІІ - скільки помідорів вона віддала дітям, відомо - 6.

- Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? (Дією віднімання.) Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? (Ні, не можна, тому що ми не знаємо, скільки помідорів зірвала мама.)

- Що потрібно знати, щоб дізнатися, скільки помідорів зірвала мама? (Треба знати два числові значення: І - скільки помідорів вона зірвала з першого куща, відомо - 5, та ІІ - скільки помідорів вона зірвала з другого куща, відомо - 4.) Якою арифметичною дією відповімо на це запитання? (Дією додавання.)

- Чи можна відразу відповісти на це запитання? (Можна, тому що ми знаємо обидва числові дані.) Ми прийшли від запитання задачі до числових даних, тому аналіз закінчено.

- Розкладемо цю задачу на дві прості задачі. Сформулюйте першу просту задачу. (З першого куща мама зірвала 5 помідорів, а з другого 4 помідори. Скільки всього помідорів зірвала мама?) Покажемо її в короткому запису. Сформулюйте другу просту задачу. (Мама зірвала всього [ ] помідорів, 6 помідорів вона віддала дітям. Скільки помідорів залишилося в мами?) Покажемо її на короткому запису.

- Складемо план розв'язування задачі. Про що ми дізнаємося в першій простій задачі? (Ми дізнаємося, скільки всього помідорів зірвала мама.) Про що ми дізнаємося в другій простій задачі? (Скільки помідорів залишилося в мами?) Запишіть розв'язання по діях з поясненням.

1) 5 + 4 = 9 (п.) всього зірвала мама

2) 9 – 6 = 3 (п.) залишилося

- Повторіть запитання задачі. Розкажіть відповідь на запитання задачі. (Відповідь: 3 помідори залишилося в мами.)

- Скільки числових даних в умові цієї задачі? З яких простих задач складається дана задача. Яка задача є першою? Скільки числових даних вона містить? Яка задача є другою? Що можна сказати про її числові дані?

Формування загального вміння розв'язувати складені задачі здійснюємо на різноманітних математичних структурах складених задач, не зосереджуючись на відпрацюванні розв'язання задачі певної структури. Істотним у методиці ознайомлення із задачами нової математичної структури є введення їх на основі порівняння зі схожими простими задачами або на основі продовження сюжету простої задачі, або на основі зміни запитання простої задачі до даної умови, або на основі зміни умови або запитання складеної задачі відомої математичної структури. Таким чином, досліджується вплив цих змін на розв'язання задачі; задачі нової математичної структури співставляються з задачами вже відомими, що полегшує їх засвоєння. Крім того, застосовується й такий методичний прийом, коли задача нової структури подається без зіставлення з відомими структурами. У цьому випадку учні опиняються в умовах необхідності відтворення повного складу дій, які містить загальне вміння розв'язувати складені задачі.

Отже, якщо учневі трапляється задача, яку він не вміє розв'язувати, то він виконує поступово, одну за одною, дії, що складають загальне вміння. А якщо математична структура задачі дитині відома, то відразу після виконання короткого запису та (або) схематичного малюнка вона розбиває задачу на прості і формулює план її розв'язування.

У другому класі ми формуємо наступні дії, що складають загальне вміння розв'язувати складені задачі: міркувати від запитання задачі до числових даних - аналіз; розбивати задачу на прості; встановлювати порядок розв'язування простих задач; формулювати план розв'язування задачі; записувати розв'язання по діях з поясненням; складати вираз, який є розв'язанням задачі; переходити до розв'язання задачі іншим способом; досліджувати вплив зміни умови або запитання задачі на її розв'язання.

Усі основні дії, які дозволяють учневі самостійно розв'язувати складені задачі, формуються до 3-го класу. У 3-му класі опрацьовується дія міркування від числових даних до запитання задачі, а вміння розв'язувати задачі набуває подальшого засвоєння, скорочується - учні від короткого запису задачі переходять до виділення простих задач і плану розв'язування задачі. На прикладі задачі на знаходження невідомих трьох доданків за сумою трьох та сумами двох чисел здійснюється попереднє ознайомлення з діями визначення істотних ознак задач, узагальнення їх математичних структур та способу розв'язування. Формування цих дій відбувається на задачах на знаходження суми або різницеве чи кратне порівняння двох добутків або часток. Отже, усі складові загального вміння розв'язувати складені задачі формуються до 4-го класу, тому в цей час увага зосереджується на формуванні вмінь розв'язувати задачі окремих видів, а загальне вміння розв'язувати складені задачі набуває подальшого засвоєння на прикладі задач нових математичних структур і задач, які містять дроби.

Методика формування вміння розв'язувати задачі певних видів

Розкриємо загальні підходи методики формування в молодших школярів умінь розв'язувати задачі певних видів. Ця методика передбачає формування в молодших школярів уміння співвідносити дану задачу з раніше вивченими і впізнавати задачу вивченої математичної структури; уміння актуалізувати узагальнений спосіб розв'язування задач даного виду, а потім його реалізувати.

Нагадаємо, що типові задачі ми поділяємо на три групи:

I. Задачі, що містять однакову (сталу) величину: задачі на знаходження четвертого пропорційного, задачі на пропорційне ділення, задачі на знаходження невідомих за двома різницями, задачі на подвійне зведення до одиниці.

II. Задачі на процеси: задачі на спільну роботу, на рух.

Розглянемо задачі кожної групи докладно.

І. Вивчення задач, що містять однакову (сталу) величину, відбувається в наступному порядку: 1) задачі на знаходження четвертого пропорційного (спосіб знаходження однакової величини - 3-й клас); 2) задачі на подвійне зведення до одиниці (3-й класс); 3) задачі на знаходження четвертого пропорційного (спосіб відношень - 4-й клас); 4) задачі на подвійне зведення до одиниці (4-й клас); 5) задачі на пропорційне ділення (4-й клас); 5) задачі на знаходження невідомих за двома різницями (4-й клас).

1. Методика формування в молодших школярів умінь розв'язувати задачі на знаходження четвертого пропорційного (3-4 клас).

Задача: Маса 6-ти однакових гусей складає 30 кг. Яка маса 4-х таких самих гусей?

Загальна маса гусей (кг)

Маса 1-єї гуски (кг)

Кількість гусей (шт.)

І.

30 кг

6 шт.

?, однакова

ІІ

? кг

4 шт.

Розв'язання

1) 30 : 6 = 5 ( кг) - маса 1-єї гуски, однакова величина.

2) 5 ∙ 4 = 20 (кг) - загальна маса 4 гусей.

Або: 30 : 64 = 20 (кг).

Істотні ознаки задач на знаходження четвертого пропорційного: ці задачі містять два випадки; ці задачі містять три взаємопов'язані величини; одна з величин є однаковою для двох випадків; стосовно однієї величини дані два числові значення; стосовно іншої величини дано лише одне числове значення, а інше є шуканим.

Задачі на знаходження четвертого пропорційного розв'язуються двома способами: способом знаходження однакової (сталої) величини та способом відношень.

Спосіб знаходження однакової величини

1) Першою дією знаходимо значення однакової величини за відомими значеннями двох інших величин стосовно одного з випадків.

2) Другою дією відповідаємо на запитання задачі.

Спосіб відношень

1) Першою дією дізнаємося про числове значення відношення між двома відомими числовими даними одної з величин. Робимо висновок про числове значення і характер відношення між числовим даним і шуканим, стосовно другої величини.

2) Другою дією відповідаємо на запитання задачі.

Ознайомлення із задачами цього виду здійснюється через розв'язування двох послідовних простих задач з взаємопов'язаними величинами та поєднання їх в одну (Задачі: 1) Маса 6-ти однакових гусей складає 30 кг. Яка маса 1-єї гуски?; 2) Маса гуски 5 кг. Яка маса 4-х таких самих гусей?).

У результаті зміни групи взаємопов'язаних величин або зміни числових даних, або зміни однакової величини; або зміни шуканої величини при певній однаковій величині, відбувається дослідження впливу кожної зміни на план розв'язування задачі, визначаються істотні ознаки задач на знаходження четвертого пропорційного та узагальнюються спосіб розв'язування (мал. 1).

2. Методика формування вмінь розв'язувати задачі на пропорційне ділення та задачі на знаходження невідомих за двома різницями (4-й клас).

Наведемо приклад задачі на пропорційне ділення. За два дні на базу привезли 95т вугілля. Першого дня привезли 2 вагони, а другого - 3 вагони. Скільки тонн вугілля привезли кожного дня, якщо маса 1-го вагона була однаковою?

Загальна маса вугілля (т)

Маса 1-го вагона (т)

Кількість вагонів (шт.)

І.

2 шт.

?, однакова

ІІ.

3 шт.

1) 2 + 3 = 5 (ваг.) всього привезли за два дні.

2) 95 : 5 = 19 (т) маса 1-го вагона.

3) 19 ∙ 2 = 38 (т) привезли першого дня.

4) 19 ∙ 3 = 57(т) привезли другого дня.

Задача на знаходження невідомих за двома різницями. У кіоску продали по однаковій ціні 12 синіх та 8 чорних ручок. За сині ручки заплатили на 3 грн. 20 к. більше, ніж за чорні. Скільки грошей одержали за кожний вид ручок?

Вартість (грн)

Ціна (грн)

Кількість (шт.)

С.

?, на 320 к. б.

12 шт.

?, однакова

Ч.

?

8 шт.

Розв'язання

1) 12 - 8 = 4 (шт.) - на стільки більше купили синіх ручок, ніж червоних; різниця між кількостями синіх та чорних ручок.

2) 320 : 4 = 80 (к.) - ціна ручки.

3) 80 ∙ 12 = 960 (к.) - вартість синіх ручок.

4) 80 ∙ 8 = 640 (к.) - вартість чорних ручок.

Істотні ознаки задач на знаходження четвертого пропорційного, на пропорційне ділення та на знаходження невідомих за двома різницями: ці задачі містять три взаємопов'язані величини; ці задачі містять два випадки; одна з величин є однаковою для обох випадків; для однієї з величин дано два числові значення для обох випадків; для другої величини

дано лише одне числове значення, аінше є шуканим / обидва числові значення є шуканими, але дано їх суму або різницю

Також можна узагальнити спосіб розв'язування задач на знаходження четвертого пропорційного, на пропорційне ділення та на знаходження невідомих за двома різницями способом знаходження однакової величини:

- знайти однакову величину

за двома числовими значеннями стосовно одного з випадків / за двома сумами або різницями

- відповісти на запитання задачі.

Методика навчання розв'язування задач на пропорційне ділення і на знаходження невідомих за двома різницями побудована за єдиним планом, в якому реалізовано наступні аспекти:

- для усвідомлення учнями зв'язку задач на знаходження четвертого пропорційного (на пропорційне ділення) і задач на пропорційне ділення (на знаходження невідомих за двома різницями) здійснюється перетворення задачі відомого виду в задачу нового виду;

- дослідження задачі реалізується шляхом: зміни величин або числових даних задачі, зміни шуканих, зміни однакової величини і визначення впливу цих змін на план розв'язування задачі.

Такий всебічний аналіз призводить до узагальнення істотних ознак задач цих видів і узагальнення плану їх розв'язування способом знаходження однакової величини.

Проілюструємо перетворення задачі одного виду у споріднений вид з метою визначення спільних ознак їх математичних структур та узагальнення способу розв'язування.

Розглянемо задачу на знаходження четвертого пропорційного, яка розв'язується способом знаходження однакової величини.

Задача № 1. За 8 годин перший робітник виготовляє 88 деталей. Скільки деталей виготовить за 10 годин другий робітник, якщо працюватиме з тією самою продуктивністю?

Перед розв'язанням задачі робимо прикидку очікуваного результату: шукане число буде більшим за 88 деталей, тому що другий робітник працював більше часу при однаковій продуктивності. Учні «впізнають» задачу на знаходження четвертого пропорційного і актуалізують спосіб її розв'язування.

Загальний виробіток

Продуктивність праці

Час роботи

І

88 дет

однакова

8 год

ІІ

? дет

10 год

Розв'язання

1) 88 : 8 = 11 (дет.) виготовляє робітник за 1 годину, однакова величина.

2) 11 ∙ 10 = 110 (дет.) виготовить робітник за 10 годин.

Або: 88 : 8 ∙ 10 = 110 (дет.)

Відповідь: 110 деталей виготовить робітник за 10 годин роботи.

Після розв'язання цієї задач вчитель пропонує знайти сумарне значення загальної величини для двох випадків (загального виробітку: 88 + 110 = 198 (дет.)) і включити його в задачу, при цьому змінити вимогу - знайти значення загальної величини для кожного з двох випадків.

Короткий запис задачі на знаходження четвертого пропорційного перетворюється у короткий запис нової задачі - на пропорційне ділення.

Задача № 2. Два робітники виготовили 198 деталей. Перший працював 8 годин, а другий - 10 годин. Скільки деталей окремо виготовив кожний робітник, якщо вони працювали з однаковою продуктивністю?

Учні роблять прикидку очікуваного результату: перший робітник зробить менше деталей, ніж другий, тому що він працював менше часу при тій самій продуктивності. Діти визначають зміни, що відбулися в попередній задачі, та їх вплив на розв'язування одержаної задачі. В задачі на знаходження четвертого пропорційного ми виконали наступні зміни: шуканими стали два числові значення однієї величини (загальної величини), але ми задали їх суму і одержали задачу на пропорційне ділення; при розв'язанні задач на пропорційне ділення ми не можемо однакову величину знаходити за двома відомими величинами одного з випадків, однакову величину ми знаходимо за двома сумами.

Загальний виробіток

Продуктивність праці

Час роботи

І

однакова

8 год

ІІ

10 год

Розв'язання

1) 8 + 10 = 18 (год) всього працювали робітники.

2) 198 : 18 = 11 (дет.) продуктивність праці І або ІІ робітника, однакова величина.

3) 11 ∙ 8 = 88 (дет.) загальний виробіток І робітника.

4) 11 ∙ 10 = 110 (дет) загальний виробіток ІІ робітника.

Або: 198 : (8 + 10) ∙ 8 = 88 (дет.)

198 : (8 + 10) ∙ 10 = 110 (дет.)

Перевірка розв'язання здійснюється засобом додавання знайдених числових значень і порівняння отриманого числа з даним числовим значенням суми (88 + 110 = 198 (дет.), що й дано за умовою задачі).

Учні порівнюють розглянуті два види задач і дістають висновку: обидві задачі містять три взаємопов'язані величини, два випадки, одна з величин є однаковою для обох випадків; для іншої величини дано два числові значення, а для третьої величини або дано одне числове значення, а друге є шуканим, або обидва числові значення є шуканими, але дано їх суму. Відмінність у математичних структурах впливає на спосіб знаходження однакової величини: в задачах на знаходження четвертого пропорційного її знаходять за двома числовими даними одного з випадків, а у задачах на пропорційне ділення - за двома сумарними значеннями двох інших величин.

Наступне дослідження задачі йде через введення в умову задачі не суми значень загальної величини, а їх різниці (одержуємо задачі на знаходження невідомих за двома різницями).

Задача № 3. Перший робітник працював 8 годин, а другий 10 годин, причому другий робітник виготовив на 22 деталі більше, ніж перший. Скільки деталей зробив кожний робітник, якщо вони працювали з однаковою продуктивністю?

Перед розв'язанням задачі учні порівнюють одержану задачу з попередньою: ці задачі схожі тим, що обидві містять три взаємопов'язані величини, два випадки, одна з величин є однаковою для обох випадків; до однієї з них дано два числових значення, а обидва значення іншої величини є шуканими; відрізняються ці задачі тим, що в задачі на пропорційне ділення було дано значення суми загальних величин, а в цій - значення різниці. Отже, в обох задачах є однакова для двох випадків величина. У попередній задачі однакову величину знаходили за двома сумами, бо в умові було дано числове значення однієї з них, а в цій задачі дано значення різницевого відношення шуканих, тому однакову величину знаходитимемо за двома різницями. Таким чином, здійснена зміна умови задачі викликала застосування іншого способу знаходження однакової величини - за двома різницями.

Загальний виробіток

Продуктивність праці

Час роботи

І

?

однакова

8 год

ІІ

?, на 22 дет. біл.

10 год

Розв'язання

1) 10 - 8 = 2 (дет.) на стільки більше зробив другий робітник, ніж перший.

2) 22 : 2 = 11 (дет.) продуктивність праці, однакова величина.

3) 11 ∙ 8 = 88 (дет.) загальний виробіток І робітника.

4) 11 ∙ 10 = 110 (дет) загальний виробіток ІІ робітника.

Або: 22 : (10 - 8) ∙ 8 = 88 (дет.)

22 : (10 - 8) ∙ 10 = 110 (дет.)

Перевірка розв'язання здійснюється засобом знаходження різниці знайдених числових значень і порівняння одержаного числа з даним різницевим відношенням в умові задачі. Порівнюючи розв'язання задач на пропорційне ділення і на знаходження невідомих за двома різницями, діти встановлюють, що в обох задачах однакові дві останні дії, тому що в них одні й ті ж запитання та одна й та сама однакова величина, яка потрібна для відповіді на обидва запитання задачі. Розв'язки відрізняються першими двома діями, тому що однакову величину знаходили по-різному: у першій задачі - за двома сумами, а в другій задачі - за двома різницями (див. таблиця 4).

Таблиця 4. Опорні схема та плани розв'язування задач, що містять однакову величину (спосіб знаходження однакової величини)

Задачі на знаходження четвертого пропорційного

Задачі на пропорційне ділення

Задачі на знаходження невідомих за двома різницями

План розв'язування

1) Значення однакової величини - величини однієї одиниці - за двома числовими значеннями одного з випадків.

2) Шукане значення, відповідаємо на запитання задачі.

План розв'язування

1) Суму даних числових значень однієї з величин.

2) Значення однакової величини - величини однієї одиниці – за сумарними значеннями двох величин.

3) Шукане значення, відповідаємо на перше запитання задачі.

4) Шукане значення, відповідаємо на друге запитання задачі.

План розв'язування

1) Різницю даних числових значень однієї з величин.

2) Значення однакової величини - величини однієї одиниці - за двома різницями.

3) Шукане значення, відповідаємо на перше запитання задачі.

4) Шукане значення, відповідаємо на друге запитання задачі.

До обов'язкових для всіх учнів питань не належать дослідження задач на пропорційне ділення та задач на знаходження невідомих за двома різницями засобом зміни однакової величини, а також порівняння задач на знаходження четвертого пропорційного, на пропорційне ділення і на знаходження невідомих за двома різницями з метою визначення спільних істотних ознак їх математичних структур та узагальнення способу розв'язування. Цей навчальний матеріал пропонується для поглибленого вивчення математики здібними та обдарованими учнями.

3. Аналогічним чином побудовано методику навчання молодших школярів розв'язування задач на подвійне зведення до одиниці, але з тією відмінністю, що дослідження задач цього виду не відбувається за допомогою зміни однакової величини.

Наведемо приклади задач на подвійне зведення до одиниці, що пропонуються в 3-му (1) та 4-му (2) класі:

1) На 3 дні 6-ти вівцям дають 36 кг сіна. Скільки сіна дають 1-ій вівці на день?

I спосіб

1) 36 : 3 = 12 ( кг) на 1 день 6-ти вівцям.

2) 12 : 6 = 2 ( кг) на 1 день 1-ій вівці.

II спосіб

1) 36 : 6 = 6 ( кг) на 3 дні 1-ій вівці.

2) 6 : 3 = 2 ( кг) на 1 день 1-ій вівці.

2) На 3 дні 6-ти вівцям дають 36 кг сіна. Скільки сіна дають 4-ом вівцям на день?

Для відповіді на запитання другої задачі треба виконати ще одну арифметичну дію: 3) 2 ∙ 4 = 8 (кг) сіна дають 4-ом вівцям на 1 день.

Істотні ознаки задач на подвійне зведення до одиниці (3-й клас): чотири величини: кількість, час, загальне значення для даної кількості та часу, а також величина, яка поєднує усі ці величини -«подвійна одиниця»; дано три числові значення даних величин; шуканим є одне з числових значень: або величини подвійної одиниці, або загальної величини, або кількості, або часу.

План розв'язування (3-й клас)

1) першою дією знаходимо величину однієї одиниці для певної кількості або часу;

2) другою дією відповідаємо на запитання задачі.

Істотні ознаки задач на подвійне зведення до одиниці (4-й клас): чотири величини: кількість, час, загальне значення для даної кількості та часу, а також величина, яка поєднує усі ці величини -подвійна одиниця; два випадки; величина подвійної одиниці однакова для обох випадків; задача містить п'ять числових значень, при чому чотири дані за умовою задачі, а п'яте є шуканим.

Спосіб розв'язування задач на подвійне зведення до одиниці (4-й клас)

«Ключем» до розв'язання є знаходження значення величини «подвійної одиниці».

Задачі на подвійне зведення до одиниці можна ввести (4-й клас) через ускладнення задачі на знаходження четвертого пропорційного. Наприклад:

Задача № 1 (задача на знаходження четвертого пропорційного). За 8 рейсів водій перевіз маршруткою 88 людей. Скільки людей він перевезе за 10 рейсів, якщо за один рейс він перевозить однакову кількість людей?

8 р. - 88 осіб

10 р. - ? осіб

Записавши задачу на знаходження четвертого пропорційного схематично (у вигляді пропорції), діти зазначають, що «ключем» до розв'язання цієї задачі є знаходження однакової величини - величини однієї одиниці. Після розв'язання ускладнюємо задачу, увівши числове значення ще однієї величини (наприклад, в попередній задачі мова йшла про працю одного водія, а в ускладненій - про роботу двох водіїв). Зрозуміло, що в зв'язку з тим, що кількість водіїв збільшилася, збільшиться і значення загальної величини (кількості людей, що перевезли водії) у стільки разів, у скільки разів збільшилася кількість водіїв. У попередній задачі замінюють числове значення загальної величини в першому випадку на знайдене число. Запитання задачі лишаємо тим самим, але підкреслюємо, що запитується про одного водія.

Задача № 2 (задача на подвійне зведення до одиниці): Два водії за 8 рейсів перевезли маршруткою 176 людей. Скільки людей перевезе один водій за 10 рейсів?

Порівнявши отриману задачу з попередньою, діти встановлюють, що в них описується одна й та ж ситуація, є спільні величини, але в першій задачі мова йде тільки про одного водія, а у другій задачі - в першому випадку працюють два водії, а у другому лише один. Короткий запис задачі на знаходження четвертого пропорційного доповнюється відповідними числовими даними:

Можна виконати схематичний малюнок:

І спосіб:

1) 176 : 2 = 88 (осіб) перевезе 1 водій за 8 рейсів;

2) 88 : 8 = 11 (осіб) перевезе 1 водій за 1 рейс;

3) 11 ∙ 10 = 110 (осіб) перевезе 1 водій за 10 рейсів.

Або: 176 : 2 : 8 ∙ 10 = 110 (осіб).

Далі учні порівнюють розв'язання задачі на подвійне зведення до одиниці (І спосіб) та задачі на знаходження четвертого пропорційного і дістають висновку: задача на подвійне зведення до одиниці розв'язується трьома діями, тому що введено значення ще однієї величини, а задача на знаходження четвертого пропорційного - двома; причому обидва розв'язання містять дві однакові дії. Можна стверджувати, що, виконавши першу дію у розв'язанні задачі на подвійне зведення до одиниці, ми привели цю задачу до задачі на знаходження четвертого пропорційного. Спільним в обох задачах є наявність однакової величини -величини однієї одиниці в задачі на знаходження четвертого пропорційного і величини «подвійної одиниці» у задачі на подвійне зведення до одиниці. Спосіб розв'язування цих задач полягає в знаходженні значення величини однієї одиниці (зведення до одиниці) або значення величини «подвійної одиниці» (подвійне зведення до одиниці).

При розв'язанні і порівнянні одержаних задач учні приходять до аналогічних висновків (див. таблицю 5).

Таблиця 5. Опорні схеми та плани розв'язування задач на знаходження четвертого пропорційного та на подвійне зведення до одиниці

Задачі на знаходження четвертого пропорційного

Задачі на подвійне зведення до одиниці

План розв'язування

Спосіб знаходження однакової величини

1) Значення однакової величини - величини однієї одиниці за двома числовими значеннями одного з випадків.

2) Шукане значення загальної величини, відповідаємо на запитання задачі.

План розв'язування

1) знаходимо величину однієї одиниці для даної кількості або часу;

2) знаходимо величину «подвійної одиниці»;

3) відповідаємо на запитання задачі.

Аналогічно розглянутим видам задач побудовано методику навчання молодших школярів розв'язування задач на подвійне зведення до одиниці, з тією лише відмінністю, що дослідження задач цього виду не відбувається за допомогою зміни однакової величини. У результаті зміни величин задачі або числових даних, або зміни шуканого діти узагальнюють математичні структури та план розв'язування задач на подвійне зведення до одиниці.

ІІ. Програма вивчення задач на процеси та методика навчання розв'язування задач цього типу реалізується в 3-х - 4-х класах. Відповідно до чинної програми спочатку відбувається навчання молодших школярів розв'язування задач на спільну роботу, а потім - на одночасний рух.

1. Формування в учнів уміння розв'язувати задачі на спільну роботу здійснюється в 3-му та 4-му класах, що пояснюється дещо відмінними математичними структурами задач цього виду: так, у 3-му класі пропонуються задачі на спільну роботу, в яких дано продуктивність кожного виконавця, а у 4-му - не дано продуктивності кожного виконавця, вона є проміжним невідомим.

Наприклад (3-й клас). Одна друкарка друкує за годину 5 сторінок, інша 4. Скільки годин вони повинні працювати разом, щоб надрукувати 72 сторінки?

Істотні ознаки задач на спільну роботу (3-й клас): ці задачі містять три взаємопов'язані величини: загальний виробіток, продуктивність праці, час роботи; ці задачі містять три випадки: перший стосується роботи першого виконавця, другий - роботи другого виконавця, а третій - спільної роботи двох виконавців; дано продуктивність кожного виконавця, а шуканим є

час спільної роботи / загальний виробіток при спільній роботі

або дано загальний виробіток та час при спільній роботі, а шуканим є продуктивність праці одного з виконавців.

Опорна схема, схематичний малюнок та план розв'язування таких задач подані у таблиці 6.

Наприклад (4-й клас). Одна друкарка друкує за 6 годин 30 сторінок тексту, інша за 4 години 16 сторінок. Скільки годин вони повинні працювати разом, щоб надрукувати 72 сторінки тексту?

Таблиця 6/ Опорні схеми та план розв'язування задач на спільну роботу, в яких шуканою є час спільної праці або загальний виробіток при спільній праці

План розв'язування

1. Знаходимо спільну продуктивність дією додавання.

2. Знаходимо час спільної роботи дією ділення або продуктивність спільної праці дією множення, відповідаємо на запитання задачі.

Істотні ознаки задач на спільну роботу (4-й клас): ці задачі містять три взаємопов'язані величини: загальний виробіток, продуктивність праці, час роботи; ці задачі містять три випадки: перший стосується роботи першого виконавця, другий - роботи другого виконавця, третій - спільної роботи двох виконавців; для двох випадків дано значення загального виробітку і часу роботи; для іншого випадку дано лише одне числове значення (або загального виробітку, або часу роботи), а інше - є шуканим.

Опорна схема, схематичний малюнок та план розв'язування таких задач подані в таблиці 7.

Дослідження задач на спільну роботу відбувається за наступними змінами: зміною ситуації задачі; зміною числових даних задачі; зміною шуканого задачі; за зміною «характеру дій» виконавців. Таке дослідження задачі є могутнім засобом визначення істотних ознак математичної структури та плану розв'язування задачі.

Таблиця 7. Опорні схеми та план розв'язування задач на спільну роботу, в яких шуканою є час спільної праці або загальний виробіток при спільній праці (4-й клас)

План розв'язування

1) знаходимо продуктивність першого виконавця дією ділення;

2) знаходимо продуктивність другого виконавця дією ділення;

3) знаходимо спільну продуктивність дією додавання;

4) знаходимо час спільної роботи дією ділення, або загальний виробіток при спільній праці дією множення; відповідаємо на запитання задачі.


2. Задачі на рух. Серед задач на рух виділяються дві групи: задачі на рух в різних напрямках (назустріч та у протилежних напрямках) та задачі на рух в одному напрямку (навздогін або з відставанням). У межах кожної групи задачі можна класифікувати за шуканою величиною: задачі на знаходження відстані, задачі на знаходження швидкості одного з рухомих тіл та задачі на знаходження часу руху. Наведемо приклади задач на рух у різних напрямках:

1) Два лижники вийшли одночасно назустріч один одному з двох селищ і зустрілися через 3 години. Перший лижник ішов зі швидкістю 12 км/год, а інший - 14 км/год. Яка відстань між селищами?

2) З двох сіл, відстань між якими 32 км, одночасно назустріч один одному вирушили трактор та бричка з конем і зустрілися через 2 години. Чому дорівнює швидкість трактора, якщо швидкість брички 7 км/год?

3) З Києва та Одеси одночасно назустріч один одному відправилися два автобуси. Швидкість першого автобуса 60 км/год, швидкість другого автобуса 90 км/год. Через скільки годин вони зустрінуться, якщо відстань між містами 450 км?

Істотні ознаки задач на одночасний рух назустріч та в протилежних напрямках: в цих задачах йде мова про спільний рух двох тіл – назустріч/в протилежних напрямках; в цих задачах є чотири числові значення: швидкість руху першого тіла, швидкість руху другого тіла, час їх спільного руху, відстань, яку подолали обидва тіла під час спільного руху; при чому три з них дані, а одне - шукане.

План розв'язування (1 спосіб: S, V)

1) першою дією визначають відстань, яку подолало перше тіло.

2) другою дією визначають відстань, яку подолало друге тіло.

3) третьою дією відповідають на запитання задачі.

План розв'язування (2-й спосіб)

1) першою дією визначають на скільки збільшується/зменшується відстань між тілами за одиницю часу.

2) другою дією відповідають на запитання задачі.

При формуванні в молодших школярів умінь розв'язувати задачі на рух доцільно паралельно розглядати задачі на одночасний рух назустріч і одночасний рух в протилежних напрямках, причому спочатку розв'язуються задачі на знаходження відстані і швидкості першим способом, а після засвоєння першого способу вводиться другий спосіб і вивчаються задачі на знаходження часу. Дослідження задач на одночасний рух відбувається за наступними змінами: за зміною напрямку руху тіл; за зміною числових даних задачі; за зміною шуканого. Визначення впливу цих змін на математичну структуру задачі та план її розв'язування допомагає учням сформулювати істотні ознаки задач на одночасний рух в різних напрямках та план їх розв'язування.

Серед додаткових питань чільне місце посідає узагальнення математичних структур та способів розв'язування задач на спільну роботу та на рух в різних напрямках. Якщо формулювання задачі на рух записати коротко в формі таблиці і порівняти із табличною формою короткого запису задачі на спільну роботу, то можна визначити схожість їх математичних структур, а тому наявність спільних істотних ознак:

заг. виробіток / відстань

продукт. пр. / швидкість

час

N1 / V1

N2 / V2

A / S

t

N1 - продуктивність праці першого виконавця;

N2 - продуктивність праці другого виконавця;

A - загальний виробіток при спільній праці;

V1 - швидкість першого тіла;

V2 - швидкість другого тіла;

t - час спільного руху або час спільної праці;

S - відстань між тілами на момент початку або на момент закінчення руху

Задачі на спільну роботу, в яких продуктивність спільної праці знаходять дією додавання, та задачі на одночасний рух в різних напрямках (назустріч та в протилежних напрямках) мають два способи розв'язання:

І спосіб

ІІ спосіб

А = N1 ∙ t + N2 ∙ t

S = V1 ∙ t + V2 ∙ t

А = (N1 + N2) ∙ t

S = (V1 + V2) ∙ t

t = А : (N1 + N2)

t = S : (V1 + V2)

N1 = ( А - N2 ∙ t) : t

N2 = (А - N1 ∙ t) : t

V1 = (S - V2 ∙ t) : t

V2 = (S - V1 ∙ t) : t

N1 = А : t - N2

N2 = А : t - N1

V1 = S : t - V2

V2 = S : t - V1

Таким чином, розглянуто загальні напрямки методики формування вмінь розв'язувати сюжетні математичні задачі. Результатом навчання математики в початковій школі має бути формування загального вміння розв'язувати сюжетні задачі (прості та складені на 2-4 дії, які є комбінаціями відомих видів простих задач), а також формування умінь розв'язувати задачі певних видів (задач на знаходження четвертого пропорційного, на пропорційне ділення, на знаходження невідомих за двома різницями, на подвійне зведення до одиниці, на спільну роботу, на рух). Досягнення цього результату можливе за умов теоретично обґрунтованої методичної системи навчання учнів початкової школи розв'язування сюжетних задач.

Питання для самоперевірки

1. Розкрийте роль, місце та функції сюжетних задач у початковому курсі математики.

2. Наведіть класифікацію видів простих задач, які розв'язуються в курсі початкової школи.

3. Наведіть класифікацію типових задач.

4. Розкрийте зміст кожного з етапів процесу розв'язування як простої, так і складеної сюжетної задачі.

5. Назвіть способи перевірки задач та продемонструйте це на конкретних прикладах.

6. Прокоментуйте погляди різних методистів на проблему формування умінь розв'язувати сюжетні задачі.

7. Розкрийте методику формування в молодших школярів умінь розв'язувати задачі певних видів.